O movimento harmônico simples foi inventado pelo matemático francês Barão Jean Baptiste Joseph Fourier em 1822. Edwin Armstrong (18 de dezembro de 1890 a 1 de fevereiro de 1954) observou oscilações em 1992 em seus experimentos e Alexander Meissner (14 de setembro de 1883 a 3 de janeiro de 1958) inventou osciladores em março de 1993. O termo harmônico é uma palavra latina. Este artigo discute uma visão geral do oscilador harmônico que inclui sua definição, tipo e suas aplicações.

O que é o oscilador harmônico?

O oscilador harmônico é definido como um movimento no qual a força é diretamente proporcional à partícula do ponto de equilíbrio e produz saída em uma forma de onda senoidal. A força que causa harmônica movimento pode ser expresso matematicamente como

F = -Kx

Onde,

F = força restauradora

K = constante da mola

X = distância do equilíbrio

diagrama de blocos do oscilador harmônico

Existe um ponto no movimento harmônico em que o sistema oscila, e a força que traz a massa repetidamente no mesmo ponto de onde ela começa, a força é chamada de força restauradora e o ponto é chamado de ponto de equilíbrio ou posição média. Este oscilador também é conhecido como um oscilador harmônico linear . A energia flui do ativo componentes para componentes passivos no oscilador.

Diagrama de bloco

O diagrama de blocos do oscilador harmônico consiste em um amplificador e uma rede de feedback. O amplificador é usado para amplificar os sinais e esses sinais amplificados são passados por uma rede de feedback e gera a saída. Onde Vi é a tensão de entrada, Vo é a tensão de saída e Vf é a tensão de feedback.

Exemplo

Missa na Primavera: A mola fornece força restauradora que acelera a massa e a força restauradora é expressa como

F = ma

Onde 'm' é a massa e a é uma aceleração.

“três tipos de energia renovável ”

mass-on-a-spring

A mola consiste em uma massa (m) e força (F). Quando a força puxa a massa em um ponto x = 0 e depende apenas da posição x da massa e a constante da mola é representada por uma letra k.

Tipos de oscilador harmônico

Os tipos deste oscilador incluem principalmente o seguinte.

Oscilador harmônico forçado

Quando aplicamos força externa ao movimento do sistema, então o movimento é considerado um oscilador harmônico forçado.

Oscilador harmônico amortecido

Este oscilador é definido como, quando aplicamos força externa ao sistema, então o movimento do oscilador reduz e seu movimento é chamado de movimento harmônico amortecido. Existem três tipos de osciladores harmônicos amortecidos, eles são

formas de onda de amortecimento

Over Damped

Quando o sistema se move lentamente em direção ao ponto de equilíbrio, ele é considerado um oscilador harmônico superamortecido.

Sob Amortecimento

Quando o sistema se move rapidamente em direção ao ponto de equilíbrio, é dito que ele é um oscilador harmônico superamortecido.

Amortecimento Crítico

Quando o sistema se move o mais rápido possível, sem oscilar em torno do ponto de equilíbrio, é considerado um oscilador harmônico superamortecido.

Quantum

Foi inventado por Max Born, Werner Heisenberg e Wolfgang Pauli na “University of Gottingen”. A palavra quantum é a palavra latina e o significado de quantum é uma pequena quantidade de energia.

Energia de Ponto Zero

A energia do ponto zero também é conhecida como energia do estado fundamental. É definido quando a energia do estado fundamental é sempre maior que zero e este conceito é descoberto por Max Planck na Alemanha e a fórmula desenvolvida em 1990.

Energia média da equação do oscilador harmônico simples amortecido

Existem dois tipos de energias: energia cinética e energia potencial. A soma da energia cinética e energia potencial é igual à energia total.

E = K + U ………………. Eq (1)

Onde E = energia total

K = energia cinética

U = energia potencial

Onde k = k = 1/2 mv^dois………… eq (2)

U = 1/2 kx^dois………… eq (3)

oscilação-ciclo- para- valores médios

Os valores médios de energia cinética e potencial por ciclo de oscilação são iguais a

Onde v^dois= v^dois(PARA^dois-x^dois) ……. eq (4)

Substitua eq (4) em eq (2) e eq (3) obterá

k = 1/2 m [w^dois(PARA^dois-x^dois)]

= 1/2 m [Aw cos (wt + ø₀)]^dois……. eq (5)

U = 1/2 kx^dois

= 1/2 k [A sen (wt + ø₀)]^dois……. eq (6)

Substitua eq (5) e eq (6) na eq (1) obterá o valor de energia total

E = 1/2 m [w^dois(PARA^dois-x^dois)] + 1/2 kx^dois

= 1/2 m w^dois-1/2 m w^doisPARA^dois+ 1/2 kx^dois

= 1/2 m w^doisPARA^dois+1/2 x^dois(K-mw^dois) ……. eq (7)

Onde mw^dois= K , substitua este valor na eq (7)

E = 1/2 K A^dois- 1/2 Kx^dois+ 1/2 x^dois= 1/2 K A^dois

Energia total (E) = 1/2 K A^dois

As energias médias para um período de tempo são expressas como

PARA_média= U_média= 1/2 (1/2 K A^dois)

Função de onda do oscilador harmônico

O operador hamiltoniano é expresso como uma soma de energia cinética e energia potencial e é expresso como

ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)

Onde ђ = operador Hamitoniano

T = energia cinética

V = energia potencial

Para gerar a função de onda, temos que conhecer a equação de Schrodinger e a equação é expressa como

-đ^dois/ 2μ * d^doisѱ_υ(Q) / dQ^dois+ 1 / 2KQ^doisѱ_υ(Q) = E_υѱ_υ(Q) …………. eq (2)

Onde Q = Comprimento da coordenada normal

Μ = massa efetiva

K = Constante de força

As condições de contorno da equação de Schrodinger são:

Ѱ (-∞) = ø

Ѱ (+ ∞) = 0

Também podemos escrever a eq (2) como

d^doisѱ_υ(Q) / dQ^dois+ 2μ / đ^dois(E_υ-K / 2 * Q^dois) ѱ_υ(Q) = 0 ………… eq (3)

Os parâmetros usados para resolver uma equação são

β = ђ / √μk ……… .. eq (4)

d^dois/ dQ^dois= 1 / β^doisd^dois/ dx^dois………… .. eq (5)

Substitua eq (4) e eq (5) na eq (3), então a equação diferencial para este oscilador torna-se

d^doisѱ_υ(Q) / dx^dois+ (2μb^doisE_υ/ đ^dois- x^dois) ѱ_υ(x) = 0 ……… .. eq (6)

A expressão geral para séries de potências é

ΣC¬nx2 …………. eq (7)

Uma função exponencial é expressa como

exp (-x^dois/ 2) ………… eq (8)

eq (7) é multiplicado com eq (8)

ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)

Polinômios de Hermite são obtidos usando a equação abaixo

ђ_υ(x) = (-1)^υ* exp (x^dois) d / dx^υ* exp (-x^dois) …………… .. eq (10)

A constante de normalização é expressa como

N_υ= (1/2^υυ! √Π)^1/2…………… .eq (11)

O solução de oscilador harmônico simples é expresso como

Ѱ_υ(x) = N_υH_υ(e) e^{-x2 / 2}……………… eq (12)

Onde N_υé a constante de normalização

H _υé o Hermite

é ^{-x2 / dois}é o gaussiano

Uma equação (12) é a função de onda do oscilador harmônico.

Esta tabela mostra os primeiros polinômios de Hermite do termo para os estados de energia mais baixos

^υ	0	1	dois	3
H_υ(Y)	1	2a	4 anos^dois-2	8a³-12y

As funções de onda do gráfico de oscilador harmônico simples para quatro estados de energia mais baixos são mostrados nas figuras abaixo.

funções de onda do oscilador harmônico

As densidades de probabilidade deste oscilador para os quatro estados de energia mais baixos são mostradas nas figuras abaixo.

probabilidade-densidades-de -formas de onda

Formulários

O soscilador harmônico simplesaplicativos incluem principalmente o seguinte

Sistemas de áudio e vídeo
Rádio e outros dispositivos de comunicação
Inversores , Alarmes
Campainhas
Luzes decorativas

Vantagens

O vantagens do oscilador harmônico estamos

Barato
Geração de alta frequência
Alta eficiência
Barato
Portátil
Econômico

Exemplos

O exemplo desse oscilador inclui o seguinte.

Instrumentos musicais
Pêndulo simples
Sistema de mola em massa
Balanço
O movimento dos ponteiros do relógio
O movimento das rodas do carro, caminhão, ônibus, etc.

É um tipo de movimento que podemos observar em nossas bases diárias. Harmônico oscilador função de onda usando Schrodinger e as equações do oscilador harmônico são derivadas. Aqui está uma pergunta: que tipo de movimento executado pelo bungee jumping?